$f(x)$ はすべての実数上で連続な関数であり、次の2つの条件を満たす。 (a) すべての $x, y \in \mathbb{R}$ について $f(x+y) = f(x) + f(y)$ (b) $f(1) = 1$ このとき、$f(x) = x$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$f(x)$ はすべての実数上で連続な関数であり、次の2つの条件を満たす。

(a) すべての $x, y \in \mathbb{R}$ について $f(x+y) = f(x) + f(y)$

(b) $f(1) = 1$

このとき、$f(x) = x$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(i) まず、整数 $n$ に対して $f(n) = n$ であることを示す。

条件(a)において $x=1, y=1$ とすると $f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 1+1 = 2$ となる。

同様に、$f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3$ となる。

数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ に対して $f(n) = n$ であることが示せる。

次に、$f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)$ より $f(0) = 0$ となる。

また、$0 = f(0) = f(n + (-n)) = f(n) + f(-n)$ より、$f(-n) = -f(n) = -n$ となる。

したがって、任意の整数 $n$ に対して $f(n) = n$ が成り立つ。

(ii) 次に、有理数 $q$ に対して $f(q) = q$ であることを示す。

任意の整数 $n$ に対して $f(n) = n$ が成り立つことを用いる。

任意の整数 $m \neq 0$ について、

$f(1) = f(\frac{1}{m} + \frac{1}{m} + ... + \frac{1}{m}) = f(\frac{1}{m}) + f(\frac{1}{m}) + ... + f(\frac{1}{m}) = m f(\frac{1}{m})$

したがって、$f(\frac{1}{m}) = \frac{1}{m} f(1) = \frac{1}{m}$ となる。

任意の有理数 $q = \frac{n}{m}$ （$n, m$ は整数、$m \neq 0$）に対して、

$f(\frac{n}{m}) = f(n \cdot \frac{1}{m}) = n f(\frac{1}{m}) = n \cdot \frac{1}{m} = \frac{n}{m}$ となる。

したがって、任意の有理数 $q$ に対して $f(q) = q$ が成り立つ。

(iii) 最後に、$f(x)$ が連続であることから、任意の実数 $x$ に対して $f(x) = x$ であることを示す。

$f(x)$ が連続であるから、任意の実数 $x$ に対して、有理数列 $\{q_n\}$ が $x$ に収束するとき、

$f(x) = f(\lim_{n \to \infty} q_n) = \lim_{n \to \infty} f(q_n) = \lim_{n \to \infty} q_n = x$ となる。

したがって、任意の実数 $x$ に対して $f(x) = x$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$