(1) 関数 $f(x)$ が、$f'(x) = 3x + 2$ と $\int_0^2 f(x) dx = 4$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。 (2) 2次関数 $f(x)$ が、$f(-1) = 4$, $f'(1) = 4$, $\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x)$ が、$f'(x) = 3x + 2$ と $\int_0^2 f(x) dx = 4$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

(2) 2次関数 $f(x)$ が、$f(-1) = 4$, $f'(1) = 4$, $\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x) = 3x + 2$ より、$f(x)$ は $f(x) = \int (3x + 2) dx = \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$ (Cは積分定数) と表される。

$\int_0^2 f(x) dx = 4$ であるから、

$\int_0^2 (\frac{3}{2}x^2 + 2x + C) dx = 4$

$[\frac{1}{2}x^3 + x^2 + Cx]_0^2 = 4$

$\frac{1}{2}(2)^3 + (2)^2 + C(2) - 0 = 4$

$4 + 4 + 2C = 4$

$2C = -4$

$C = -2$

したがって、$f(x) = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 2$

(2) $f(x)$ は2次関数なので、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 4$

$f'(x) = 2ax + b$ なので、$f'(1) = 2a(1) + b = 2a + b = 4$

$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (ax^2 + bx + c) dx = 0$

$\int_{-1}^1 (ax^2 + bx + c) dx = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{-1}^1 = (\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c) - (-\frac{a}{3} + \frac{b}{2} - c) = \frac{2a}{3} + 2c = 0$

よって、$\frac{a}{3} + c = 0$ より $a + 3c = 0$

3つの式が得られた。

$a - b + c = 4$

$2a + b = 4$

$a + 3c = 0$

$a = -3c$ を $2a + b = 4$ に代入して、$2(-3c) + b = 4$ より $b = 6c + 4$

$a = -3c$ と $b = 6c + 4$ を $a - b + c = 4$ に代入して、

$-3c - (6c + 4) + c = 4$

$-3c - 6c - 4 + c = 4$

$-8c = 8$

$c = -1$

$a = -3c = -3(-1) = 3$

$b = 6c + 4 = 6(-1) + 4 = -2$

したがって、$f(x) = 3x^2 - 2x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 2$

(2) $f(x) = 3x^2 - 2x - 1$