関数 $f(t) = \int_{-2}^{2} |(x-t)(x+2t)| dx$ について、 (1) $t \geq 2$ のときの $f(t)$ を求める。 (2) $1 \leq t < 2$ のときの $f(t)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \int_{-2}^{2} |(x-t)(x+2t)| dx$ について、

(1) $t \geq 2$ のときの $f(t)$ を求める。

(2) $1 \leq t < 2$ のときの $f(t)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t \geq 2$ のとき

$x \in [-2, 2]$ において、$x-t \leq 0$ であり、$x+2t > 0$ であるから、$(x-t)(x+2t) \leq 0$ である。

したがって、

$|(x-t)(x+2t)| = -(x-t)(x+2t) = (t-x)(x+2t) = -x^2 - xt + 2t^2$

$f(t) = \int_{-2}^{2} (-x^2 - xt + 2t^2) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2t + 2t^2x\right]_{-2}^{2} = \left(-\frac{8}{3} - 2t + 4t^2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2t - 4t^2\right) = -\frac{16}{3} + 8t^2$

(2) $1 \leq t < 2$ のとき

$(x-t)(x+2t) = 0$ となるのは、$x = t$ または $x = -2t$ のときである。ここで、$-2t < -2$ であるので、積分範囲内で符号が変わるのは $x = t$ のみである。

したがって積分範囲を $-2 \leq x \leq t$ と $t < x \leq 2$ に分けて考える。

$-2 \leq x \leq t$ のとき、$x-t \leq 0$ かつ $x+2t > 0$ であるから、 $(x-t)(x+2t) \leq 0$ である。

$t < x \leq 2$ のとき、$x-t > 0$ かつ $x+2t > 0$ であるから、 $(x-t)(x+2t) > 0$ である。

$f(t) = \int_{-2}^{t} -(x-t)(x+2t) dx + \int_{t}^{2} (x-t)(x+2t) dx$

$f(t) = \int_{-2}^{t} (-x^2 - xt + 2t^2) dx + \int_{t}^{2} (x^2 + xt - 2t^2) dx$

$f(t) = \left[-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2t + 2t^2x\right]_{-2}^{t} + \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2t - 2t^2x\right]_{t}^{2}$

$f(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^3 + 2t^3\right) - \left(\frac{8}{3} - 2t - 4t^2\right) + \left(\frac{8}{3} + 2t - 4t^2\right) - \left(\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^3 - 2t^3\right)$

$f(t) = \left(-\frac{2}{6}t^3 - \frac{3}{6}t^3 + \frac{12}{6}t^3\right) - \left(\frac{8}{3} - 2t - 4t^2\right) + \left(\frac{8}{3} + 2t - 4t^2\right) - \left(\frac{2}{6}t^3 + \frac{3}{6}t^3 - \frac{12}{6}t^3\right)$

$f(t) = \frac{7}{6}t^3 - \frac{8}{3} + 2t + 4t^2 + \frac{8}{3} + 2t - 4t^2 + \frac{7}{6}t^3 = \frac{14}{6}t^3 + 4t = \frac{7}{3}t^3 + 4t$

3. 最終的な答え

$t \geq 2$ のとき、$f(t) = 8t^2 - \frac{16}{3}$

$1 \leq t < 2$ のとき、$f(t) = \frac{7}{3}t^3 + 4t$