次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2-x}$ (2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2-x}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2-x}$

まず、分母を因数分解します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x(x-1)}$

$x \to 0$ のとき、分子は $x-2 \to -2$ となり、分母は $x(x-1) \to 0$ となります。

$x$ が0に近づくとき、 $x(x-1)$ は0に近づきます。

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$x>0$ かつ $(x-1) < 0$ であるため、$x(x-1)$ は負の方向から0に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to +0} \frac{x-2}{x(x-1)} = \infty$ となります。

$x$ が負の方向から0に近づくとき、$x<0$ かつ $(x-1) < 0$ であるため、$x(x-1)$ は正の方向から0に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to -0} \frac{x-2}{x(x-1)} = -\infty$ となります。

左右の極限が異なるので、極限は存在しません。

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ 、$x \to -0$ のとき $t \to -\infty$ となります。

$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} (\frac{1}{2})^t = 0$

$\lim_{x \to -0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to -\infty} (\frac{1}{2})^t = \infty$

左右の極限が異なるので、極限は存在しません。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ 、$x \to -0$ のとき $t \to -\infty$ となります。

$\lim_{x \to +0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+2^t} = \frac{1}{1+\infty} = 0$

$\lim_{x \to -0} \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}} = \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{1+2^t} = \frac{1}{1+0} = 1$

左右の極限が異なるので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) 極限は存在しない

(3) 極限は存在しない