与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -\infty} x \sin \frac{1}{x}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -\infty} x \sin \frac{1}{x}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -\infty} x \sin \frac{1}{x}$ を計算します。

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to -\infty$ のとき、$t \to 0$ となります。よって、

$\lim_{x \to -\infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置くと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ となります。よって、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{t \to 0} t \tan (t + \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} t (-\cot t) = \lim_{t \to 0} -t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} -\cos t \frac{t}{\sin t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるので、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$。

よって、$\lim_{t \to 0} -\cos t \frac{t}{\sin t} = -\cos(0) \cdot 1 = -1 \cdot 1 = -1$。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1