与えられた微分方程式または初期値問題を解く問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = y^2$ (2) $\frac{dy}{dx} = e^y$, $y(0) = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式または初期値問題を解く問題です。

(1) $\frac{dy}{dx} = y^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = e^y$, $y(0) = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた微分方程式を解きます。

$\frac{dy}{dx} = y^2$ は変数分離形なので、以下のように変形します。

$\frac{dy}{y^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y^2} = \int dx$

$-\frac{1}{y} = x + C$ (Cは積分定数)

$y = -\frac{1}{x+C}$

(2)

次に、与えられた微分方程式を解きます。

$\frac{dy}{dx} = e^y$ は変数分離形なので、以下のように変形します。

$\frac{dy}{e^y} = dx$

$e^{-y} dy = dx$

両辺を積分します。

$\int e^{-y} dy = \int dx$

$-e^{-y} = x + C$ (Cは積分定数)

初期条件 $y(0) = 0$ を用いて、Cを求めます。

$x=0$ のとき $y=0$ なので、

$-e^{-0} = 0 + C$

$-1 = C$

したがって、$C = -1$ となります。

$-e^{-y} = x - 1$

$e^{-y} = 1 - x$

両辺の自然対数をとります。

$-y = \ln(1-x)$

$y = -\ln(1-x)$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{x+C}$

(2) $y = -\ln(1-x)$