関数 $y = x^{3\log x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3\log x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとります。

$$\log y = \log (x^{3\log x})$$

$$\log y = 3\log x \cdot \log x$$

$$\log y = 3 (\log x)^2$$

両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分として計算します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{6 \log x}{x}$$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$\frac{dy}{dx} = y \frac{6 \log x}{x}$$

$y = x^{3\log x}$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = x^{3\log x} \frac{6 \log x}{x}$$

$$\frac{dy}{dx} = 6 x^{3\log x - 1} \log x$$

3. 最終的な答え

$y' = 6 x^{3\log x - 1} \log x$