定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を指数関数で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} x^{2/3} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{4} x^{-1/3} dx = \left[ \frac{3}{2} x^{2/3} \right]_{1}^{4} = \frac{3}{2} (4^{2/3} - 1^{2/3})$

$4^{2/3} = (4^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{4})^2$ となります。

$4^{2/3} = (2^2)^{2/3} = 2^{4/3} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2 \sqrt[3]{2}$

したがって、

$\frac{3}{2} (4^{2/3} - 1^{2/3}) = \frac{3}{2} (2^{4/3} - 1) = \frac{3}{2} (2 \sqrt[3]{2} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}(2 \sqrt[3]{2} - 1)$

または

$3\sqrt[3]{2} - \frac{3}{2}$