(1) 正の実数 $x$ に対して、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める。 (2) 実数 $x$ に対して、$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 正の実数 $x$ に対して、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める。

(2) 実数 $x$ に対して、$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める。$x > 0$ であるから、相加相乗平均の不等式を用いることができる。

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$

等号が成立するのは、$x = \frac{1}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 1$ のときである。$x > 0$ より、$x = 1$。

したがって、$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ が最小値である。

(2) $f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ の最小値を求める。

まず、分子を分母で割ることを試みる。

$x^4 + 2x^3 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x - 1) + 2$

よって、$f(x) = \frac{(x^2 + x + 1)(x^2 + x - 1) + 2}{x^2 + x + 1} = x^2 + x - 1 + \frac{2}{x^2 + x + 1}$

$t = x^2 + x + 1$ と置くと、$t = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$。

$f(x) = t - 2 + \frac{2}{t}$

$f(x) = t + \frac{2}{t} - 2$

$g(t) = t + \frac{2}{t}$ と置くと、$t > 0$ であり、$t \geq \frac{3}{4}$ である。

$g'(t) = 1 - \frac{2}{t^2} = \frac{t^2 - 2}{t^2}$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = \pm \sqrt{2}$ であるが、$t \geq \frac{3}{4}$ なので、$t = \sqrt{2}$ のみを考える。

$t = \sqrt{2} \approx 1.414$ であり、$\sqrt{2} > \frac{3}{4}$ である。

$t = \sqrt{2}$ のとき、$g(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$t = \frac{3}{4}$ のとき、$g(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} + \frac{8}{3} = \frac{9+32}{12} = \frac{41}{12} \approx 3.417$

$2\sqrt{2} \approx 2.828$ なので、$t = \sqrt{2}$ のとき最小となる。しかし、$x^2 + x + 1 = \sqrt{2}$ は解を持たない。

$x^2 + x + 1 = \sqrt{2}$ を解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{4\sqrt{2} - 3}}{2}$ であり、実数解を持つ。

相加相乗平均の不等式より、$t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$。

よって、$f(x) = t + \frac{2}{t} - 2 \geq 2\sqrt{2} - 2$。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $2\sqrt{2} - 2$