定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^4}$ を $x^{-4}$ と書き換えます。

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

定積分の計算では$C$は不要なので省略します。

次に、積分範囲 $1$ から $2$ までの定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx = \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{3(2^3)} - \left(-\frac{1}{3(1^3)}\right)$

$= -\frac{1}{3(8)} + \frac{1}{3(1)} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{24}$