$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を用いて、与えられた関数を変形する。

$y = \sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ の範囲で、$\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ の最大値と最小値を考える。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ は、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値1をとり、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のとき最小値-1をとる。

よって、$y = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ は、

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ つまり $\theta = \frac{3\pi}{4}$ のとき最大値 $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ をとり、

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ つまり $\theta = \frac{7\pi}{4}$ のとき最小値 $\sqrt{2} \times (-1) = -\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{7\pi}{4}$ のとき)