$\alpha$、$\beta$ は任意の1次関数 $g(x)$ に対して、常に $\int_{-1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)g(x)dx = 0$ が成り立つような実数で、$\alpha > \beta$ とする。 (1) $\alpha$, $\beta$ の値を求めよ。 (2) 任意の3次関数 $f(x)$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。 $\int_{-1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$、$\beta$ は任意の1次関数 $g(x)$ に対して、常に

$\int_{-1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)g(x)dx = 0$

が成り立つような実数で、$\alpha > \beta$ とする。

(1) $\alpha$, $\beta$ の値を求めよ。

(2) 任意の3次関数 $f(x)$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。

$\int_{-1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$g(x)=1$ のときを考える。

$\int_{-1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta) dx = 0$

$\int_{-1}^{1} (x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) dx = 0$

$\left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{\alpha+\beta}{2}x^2 + \alpha\beta x\right]_{-1}^{1} = 0$

$(\frac{1}{3} - \frac{\alpha+\beta}{2} + \alpha\beta) - (-\frac{1}{3} - \frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha\beta) = 0$

$\frac{2}{3} + 2\alpha\beta = 0$

$\alpha\beta = -\frac{1}{3}$

次に、$g(x)=x$ のときを考える。

$\int_{-1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)x dx = 0$

$\int_{-1}^{1} (x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x) dx = 0$

$\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}x^3 + \frac{\alpha\beta}{2} x^2\right]_{-1}^{1} = 0$

$(\frac{1}{4} - \frac{\alpha+\beta}{3} + \frac{\alpha\beta}{2}) - (\frac{1}{4} + \frac{\alpha+\beta}{3} + \frac{\alpha\beta}{2}) = 0$

$-\frac{2}{3}(\alpha+\beta) = 0$

$\alpha+\beta = 0$

$\beta = -\alpha$

$\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ に $\beta = -\alpha$ を代入すると

$-\alpha^2 = -\frac{1}{3}$

$\alpha^2 = \frac{1}{3}$

$\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\alpha > \beta$ より

$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \beta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2)

$\int_{-1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。

$\int_{-1}^{1} (ax^3+bx^2+cx+d) dx = \left[\frac{a}{4}x^4+\frac{b}{3}x^3+\frac{c}{2}x^2+dx\right]_{-1}^{1} = \frac{2b}{3}+2d$

$f(\alpha) = a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d$

$f(\beta) = a\beta^3+b\beta^2+c\beta+d$

$f(\alpha)+f(\beta) = a(\alpha^3+\beta^3)+b(\alpha^2+\beta^2)+c(\alpha+\beta)+2d$

$\alpha+\beta = 0$ より、$\beta = -\alpha$

$= a(\alpha^3-\alpha^3) + b(\alpha^2+\alpha^2) + c(\alpha-\alpha) + 2d$

$= 2b\alpha^2 + 2d$

$\alpha^2 = \frac{1}{3}$ より

$= \frac{2b}{3}+2d$

したがって、$\int_{-1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\beta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) 任意の3次関数 $f(x)$ に対して、$\int_{-1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$ が成り立つ。