$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos\theta = 0$ (3) $\tan\theta = \sqrt{3}$ (4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos\theta = 0$

(3) $\tan\theta = \sqrt{3}$

(4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、単位円を考えると $\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{2\pi}{3}$ である。

(2) $\cos\theta = 0$

$\cos\theta = 0$ となる $\theta$ は、単位円を考えると $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ である。

(3) $\tan\theta = \sqrt{3}$

$\tan\theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ である。

(4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \alpha$ とおくと、$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となる。

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ と $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ である。

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ または $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ となる。

$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、

$\theta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ と $\theta = \frac{\pi}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(4) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$