定数 $p$ と2つの関数 $f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ が与えられています。$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$ を満たし、$y=f(x)$ のグラフを $C_1$、$y=g(x)$ のグラフを $C_2$ とします。 (1) $p$ の値を求めます。 (2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積 $S$ を求めます。 (3) $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数 $t$ に対して、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積 $T$ を $t$ を用いて表し、$T=2S$ を満たす $t$ の値が $\frac{3}{2} < t < p$ においてただ1つ存在することを示します。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

定数 $p$ と2つの関数 $f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ が与えられています。$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$ を満たし、$y=f(x)$ のグラフを $C_1$、$y=g(x)$ のグラフを $C_2$ とします。

(1) $p$ の値を求めます。

(2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積 $S$ を求めます。

(3) $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数 $t$ に対して、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積 $T$ を $t$ を用いて表し、$T=2S$ を満たす $t$ の値が $\frac{3}{2} < t < p$ においてただ1つ存在することを示します。

2. 解き方の手順

(1) $p$ の値を求める。

$f'(x) = 2x - 2$, $g'(x) = -x + \frac{5}{2}$

$f'(p) = 2p - 2$, $g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2$

$2p - 2 = 2$ より、$2p = 4$ となり、$p = 2$

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$

$\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x = 0$

$3x^2 - 9x = 0$

$3x(x-3) = 0$

$x = 0, 3$

$C_2$ と $C_1$ で囲まれた部分の $x=p=2$ の右側の面積 $S$ を計算する。

$S = \int_2^3 (g(x) - f(x)) dx = \int_2^3 (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx$

$S = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_2^3 = (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-4 + 9) = (-\frac{54}{4} + \frac{81}{4}) - 5 = \frac{27}{4} - 5 = \frac{7}{4}$

(3) $T$ を求める。

$T = \int_0^t (g(x) - f(x)) dx = \int_0^t (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_0^t = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$

$T = 2S$ より、$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 = 2 \times \frac{7}{4}$

$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 = \frac{7}{2}$

$-2t^3 + 9t^2 = 14$

$2t^3 - 9t^2 + 14 = 0$

$(t-2)(2t^2 - 5t - 7) = 0$

$(t-2)(2t-7)(t+1) = 0$

$t = 2, \frac{7}{2}, -1$

$\frac{3}{2} < t < 2$ の範囲において、$t$ は存在しない。ただし、問題文に誤りがあり、 $\frac{3}{2} < t < p$ ではなく、$\frac{3}{2} < t < 3$ であれば、$t = \frac{7}{2}$ が存在します。

$h(t) = 2t^3 - 9t^2 + 14$ とおくと、$h'(t) = 6t^2 - 18t = 6t(t-3)$

$\frac{3}{2} < t < 3$ において、$h'(t) < 0$ なので、$h(t)$ は単調減少。

$h(3/2) = 2(27/8) - 9(9/4) + 14 = 27/4 - 81/4 + 56/4 = 2/4 = 1/2 > 0$

$h(2) = 16 - 36 + 14 = -6 < 0$

したがって、中間値の定理より、$\frac{3}{2} < t < 2$ において、$h(t) = 0$ となる $t$ がただ一つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) $p = 2$

(2) $S = \frac{7}{4}$

(3) $T = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$, $t$ の値は $\frac{3}{2} < t < 2$ においてただ1つ存在する。