$\alpha$, $\beta$は任意の1次関数$g(x)$に対して、常に $\int_{1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)g(x)dx = 0$ が成り立つような実数で、$\alpha > \beta$とする。 (1) $\alpha$, $\beta$の値を求めよ。 (2) 任意の3次関数$f(x)$に対して、次の等式が成り立つことを示せ。 $\int_{1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$.

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$は任意の1次関数$g(x)$に対して、常に

$\int_{1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)g(x)dx = 0$

が成り立つような実数で、$\alpha > \beta$とする。

(1) $\alpha$, $\beta$の値を求めよ。

(2) 任意の3次関数$f(x)$に対して、次の等式が成り立つことを示せ。

$\int_{1}^{1} f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$.

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた積分が任意の1次関数$g(x)$に対して0になるという条件から、$\alpha$と$\beta$の値を決定します。$g(x)$として、まず$g(x) = 1$の場合を考えます。このとき、

$\int_{1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)dx = 0$

が成り立ちます。積分範囲が1から1なので、この積分は常に0になります。

次に、$g(x) = x$の場合を考えます。このとき、

$\int_{1}^{1} (x-\alpha)(x-\beta)x dx = 0$

が成り立ちます。同様に、積分範囲が1から1なので、この積分は常に0になります。

これらの条件だけでは、$\alpha$と$\beta$の値は求まりません。

問題文から、$\int_1^1$ という積分範囲が不適切です。積分範囲は問題文に明記されていないため、一般的に $-\infty$ から $\infty$ ではなく、積分範囲が与えられていると仮定します。しかし、$\int_1^1 (x-\alpha)(x-\beta)g(x)dx = 0$ という条件は、積分範囲がどんなものであっても、常に0になります。つまり、この条件から $\alpha$ と $\beta$ の値を決定することはできません。

問題文の積分範囲は $\int_1^1$ ではなく、積分範囲が与えられていないか、または誤りがあると考えられます。

もし積分範囲が $-1$ から $1$ であれば、以下のように解くことができます。

(1) $g(x) = 1$ のとき、

$\int_{-1}^1 (x-\alpha)(x-\beta) dx = \int_{-1}^1 (x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) dx = 0$

$\int_{-1}^1 x^2 dx - (\alpha+\beta)\int_{-1}^1 x dx + \alpha\beta \int_{-1}^1 dx = 0$

$\frac{2}{3} - 0 + 2\alpha\beta = 0$

$\alpha\beta = -\frac{1}{3}$

(2) $g(x) = x$ のとき、

$\int_{-1}^1 (x-\alpha)(x-\beta)x dx = \int_{-1}^1 (x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x) dx = 0$

$\int_{-1}^1 x^3 dx - (\alpha+\beta)\int_{-1}^1 x^2 dx + \alpha\beta \int_{-1}^1 x dx = 0$

$0 - (\alpha+\beta)\frac{2}{3} + 0 = 0$

$\alpha+\beta = 0$

$\alpha+\beta = 0$ かつ $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ より、$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$\beta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$となります($\alpha > \beta$より)。

(2) 3次関数 $f(x)$ を $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とします。

$\int_{-1}^1 f(x)dx = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx = \frac{2}{3}b + 2d$.

$f(\alpha) + f(\beta) = a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d + a\beta^3 + b\beta^2 + c\beta + d = a(\alpha^3 + \beta^3) + b(\alpha^2 + \beta^2) + c(\alpha + \beta) + 2d$.

$\alpha + \beta = 0$, $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 0 - 2(-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = 0$.

したがって、$f(\alpha) + f(\beta) = b(\frac{2}{3}) + 2d = \frac{2}{3}b + 2d$.

よって、$\int_{-1}^1 f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\beta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (ただし、積分範囲が-1から1の場合)

(2) 任意の3次関数$f(x)$に対して、$\int_{-1}^1 f(x)dx = f(\alpha) + f(\beta)$ が成り立つ。（ただし、積分範囲が-1から1の場合）