$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の不等式を解きます。 (1) $\sin \theta \le -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$ (3) $-\sqrt{3} \tan \theta - 1 > 0$ (4) $\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の不等式を解きます。

(1) $\sin \theta \le -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$

(3) $-\sqrt{3} \tan \theta - 1 > 0$

(4) $\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \le -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。$\sin \theta$ の値が $-\frac{1}{2}$ 以下となるのは、$\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$ の範囲です。

(2) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。$\cos \theta$ の値が $\frac{1}{2}$ 以下となるのは、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$ の範囲です。

(3) $-\sqrt{3} \tan \theta - 1 > 0$

$-\sqrt{3} \tan \theta > 1$

$\tan \theta < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。$\tan \theta$ の値が $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ より小さくなるのは、$0 \le \theta < 2\pi$ において $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ と $\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ の範囲です。

(4) $\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は、$\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} < \theta < \frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$

(2) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(4) $\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{11\pi}{12}$