与えられた級数の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた級数の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$ を求めます。

2. 解き方の手順

この級数は初項 $\frac{1}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

ここで、$S_n$は等比数列の和、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

この問題では、$a = \frac{1}{3}$、$r = \frac{1}{3}$ ですので、

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}$

$S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

$S_n = \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

$S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k} = \frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n} = \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$