与えられた関数 $y = \cos^2(3x)$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^2(3x)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（チェインルール）を適用します。$y = f(g(x))$ のとき、$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ となります。

ここでは、外側の関数を $f(u) = u^2$、内側の関数を $g(x) = \cos(3x)$ と考えます。

ステップ1: $f(u) = u^2$ の導関数を計算します。

$f'(u) = 2u$

ステップ2: $g(x) = \cos(3x)$ の導関数を計算します。

ここで、さらに合成関数の微分法を用います。$\cos(ax)$ の導関数は $-a\sin(ax)$ であることを利用します。

$g'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$

ステップ3: チェインルールを適用します。

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2(\cos(3x)) \cdot (-3\sin(3x))$

ステップ4: 式を整理します。

$y' = -6\cos(3x)\sin(3x)$

ステップ5: 2倍角の公式 $2\sin(A)\cos(A) = \sin(2A)$ を用いて、さらに簡略化します。

$y' = -3(2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$

3. 最終的な答え

$y' = -3\sin(6x)$