$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta + \cos \theta + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta + \cos \theta + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、与えられた関数を $\cos \theta$ のみで表す。

$y = \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 = (1 - \cos^2 \theta) + \cos \theta + 1 = -\cos^2 \theta + \cos \theta + 2$

次に、$t = \cos \theta$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より $-1 \le t \le 1$ である。

このとき、$y = -t^2 + t + 2$ となる。

この2次関数を平方完成する。

$y = -(t^2 - t) + 2 = -(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、$y = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$ である。

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$y$ の最大値と最小値を求める。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $y = \frac{9}{4}$

$t = -1$ のとき、最小値 $y = -(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$

したがって、最大値は $y = \frac{9}{4}$ ($\cos \theta = \frac{1}{2}$) であり、最小値は $y = 0$ ($\cos \theta = -1$) である。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos \theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$)

最小値：$0$ ($\theta = \pi$)