与えられた積分 $\int x^2 e^{-x} dx$ を計算し、不定積分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 e^{-x} dx$ を計算し、不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

1回目：

$u = x^2$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

よって、

$$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$$

2回目：

$\int x e^{-x} dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

よって、

$$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1$$

これらを合わせると、

$$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-x e^{-x} - e^{-x} + C_1) = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + 2C_1$$

$$= -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$$

ここで、$C = 2C_1$ としています。

3. 最終的な答え

$\int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$