$\arctan{2} + \arctan{3}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\arctan{2} + \arctan{3}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

加法定理 $\tan{(A+B)} = \frac{\tan{A} + \tan{B}}{1 - \tan{A} \tan{B}}$ を利用する。

$A = \arctan{2}$, $B = \arctan{3}$ とおくと、

$\tan{A} = 2$, $\tan{B} = 3$ となる。

$\tan{(A+B)} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$

$A = \arctan{2}$ と $B = \arctan{3}$ の範囲を考える。

$\arctan{x}$ の範囲は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であるから、

$-\frac{\pi}{2} < A < \frac{\pi}{2}$ かつ $-\frac{\pi}{2} < B < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。

$\tan{A} = 2 > 0$ より $0 < A < \frac{\pi}{2}$

$\tan{B} = 3 > 0$ より $0 < B < \frac{\pi}{2}$

したがって、 $0 < A+B < \pi$ である。

$\tan{(A+B)} = -1$ と $0 < A+B < \pi$ より $A+B = \frac{3}{4}\pi$ である。

3. 最終的な答え

$\arctan{2} + \arctan{3} = \frac{3}{4}\pi$