与えられた無限等比級数 $x + x(2-x^2) + x(2-x^2)^2 + \cdots + x(2-x^2)^n + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求め、そのときの級数の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $x + x(2-x^2) + x(2-x^2)^2 + \cdots + x(2-x^2)^n + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求め、そのときの級数の和を求める。

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \cdots$ が収束するための条件は $|r| < 1$ である。

この級数の初項は $a = x$ で、公比は $r = 2-x^2$ である。

したがって、収束条件は $|2 - x^2| < 1$ となる。

この不等式を解くと、 $-1 < 2 - x^2 < 1$ となり、

$-3 < -x^2 < -1$ であるから、 $1 < x^2 < 3$ となる。

よって、 $1 < x < \sqrt{3}$ または $-\sqrt{3} < x < -1$ となる。

この範囲において、無限等比級数の和は、

$$$$

S = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1-(2-x^2)} = \frac{x}{x^2 - 1}

$$$$

となる。

3. 最終的な答え

無限等比級数が収束する $x$ の範囲は $1 < x < \sqrt{3}$ または $-\sqrt{3} < x < -1$ である。

そのときの級数の和は $S = \frac{x}{x^2-1}$ である。