次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} \cdot \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$

この和は、

$(\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

のように書けます。

これは、隣り合う項が打ち消し合う望遠鏡和（telescoping sum）です。

残る項は、$-\sqrt{3}$ と $\sqrt{n+3}$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$