逆正接関数 $\arctan(x)$ の不定積分を求める問題です。つまり、 $$\int \arctan(x) dx$$ を計算します。

1. 問題の内容

逆正接関数 $\arctan(x)$ の不定積分を求める問題です。つまり、

$$\int \arctan(x) dx$$

を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は

$$\int u dv = uv - \int v du$$

です。

ここで、$u = \arctan(x)$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \int x \frac{1}{1+x^2} dx$$

となります。

次に、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

したがって、

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

となります。

以上より、

$$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$