(4) $\int \frac{x^2 - 3x + 1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。 (5) $\int 2^{3x+1} dx$ を計算します。 (6) $\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 1} dx$ を計算します。 (7) $\int \sqrt{2x+1} dx$ を計算します。 (8) $\int \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

わかりました。画像に写っている積分問題のうち、(4), (5), (6), (7), (8) を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(4) $\int \frac{x^2 - 3x + 1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

(5) $\int 2^{3x+1} dx$ を計算します。

(6) $\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 1} dx$ を計算します。

(7) $\int \sqrt{2x+1} dx$ を計算します。

(8) $\int \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(4) $\int \frac{x^2 - 3x + 1}{\sqrt{x}} dx$

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{x^2 - 3x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{1/2}} - \frac{3x}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} = x^{3/2} - 3x^{1/2} + x^{-1/2}$

各項を積分します。

$\int x^{3/2} dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + C_1$

$\int -3x^{1/2} dx = -3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2 = -2x^{3/2} + C_2$

$\int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2} + C_3$

したがって、

$\int \frac{x^2 - 3x + 1}{\sqrt{x}} dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$

(5) $\int 2^{3x+1} dx$

$2^{3x+1} = 2 \cdot 2^{3x} = 2 \cdot (2^3)^x = 2 \cdot 8^x$

$\int 2^{3x+1} dx = 2 \int 8^x dx = 2 \cdot \frac{8^x}{\ln 8} + C = \frac{2 \cdot 8^x}{3 \ln 2} + C = \frac{2^{3x+1}}{3\ln 2} + C$

(6) $\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 1} dx$

$u = \sin x + \cos x + 1$ と置換すると、

$du = (\cos x - \sin x) dx$

$\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x + \cos x + 1| + C$

(7) $\int \sqrt{2x+1} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、

$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$

$\int \sqrt{2x+1} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (2x+1)^{3/2} + C$

(8) $\int \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} dx$

$\frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = 1 - \sec^2 x$

$\int \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} dx = \int (1 - \sec^2 x) dx = \int 1 dx - \int \sec^2 x dx = x - \tan x + C$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$

(5) $\frac{2^{3x+1}}{3\ln 2} + C$

(6) $\ln |\sin x + \cos x + 1| + C$

(7) $\frac{1}{3} (2x+1)^{3/2} + C$

(8) $x - \tan x + C$