(1) 関数 $f(x,y) = x - y^2 + 1$ で定義される写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ について、$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $A = \{(1,y) | y \in [0,2]\}$ の $f$ による像 $f(A)$ を求めよ。 (2) 直積集合 $\mathbb{R}^2$ を平面とみなすとき、$f$ の逆像 $f^{-1}(\{0\})$ を図示せよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x,y) = x - y^2 + 1$ で定義される写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ について、$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $A = \{(1,y) | y \in [0,2]\}$ の $f$ による像 $f(A)$ を求めよ。

(2) 直積集合 $\mathbb{R}^2$ を平面とみなすとき、$f$ の逆像 $f^{-1}(\{0\})$ を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $A = \{(1,y) | y \in [0,2]\}$ に対して、$f(1,y) = 1 - y^2 + 1 = 2 - y^2$ である。$y \in [0,2]$ のとき、$y^2 \in [0,4]$ であるから、$-y^2 \in [-4,0]$。したがって、$2 - y^2 \in [2-4, 2-0] = [-2, 2]$ となる。よって、$f(A) = [-2, 2]$ である。

(2) $f^{-1}(\{0\})$ は、$f(x,y) = 0$ となる $(x,y)$ の集合であるから、$x - y^2 + 1 = 0$ となる $(x,y)$ を求める。これは、$x = y^2 - 1$ となる。これは、$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線である。

3. 最終的な答え

(1) $f(A) = [-2, 2]$

(2) $x = y^2 - 1$