次の不定積分を求めよ。 $\int \left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$\left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

ここで、三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ を用いると、

$\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1$

$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \sin x$

したがって、

$\left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 = 1 + \sin x$

よって、求める積分は

$\int (1 + \sin x) dx = \int 1 dx + \int \sin x dx = x - \cos x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x - \cos x + C$