$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y = y\cos(xy)$

## 問題の内容

$z = \sin(xy)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{xy}, z_{yx}, z_{yy}$ を求め、それぞれの式における係数や符号を求める問題です。

## 解き方の手順

まず、与えられた関数 $z = \sin(xy)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分します。

1. $z_x$ を求める:

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y = y\cos(xy)$

2. $z_y$ を求める:

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x = x\cos(xy)$

次に、これらの結果をさらに $x$ と $y$ で偏微分し、2次偏導関数を求めます。

3. $z_{xx}$ を求める:

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(y\cos(xy)) = y(-\sin(xy) \cdot y) = -y^2\sin(xy)$

よって、 $z_{xx} = -y^2 \sin(xy)$

4. $z_{xy}$ を求める:

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos(xy)) = \cos(xy) + y(-\sin(xy) \cdot x) = \cos(xy) - xy\sin(xy)$

よって、$z_{xy} = \cos(xy) - xy\sin(xy)$

5. $z_{yx}$ を求める:

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x\cos(xy)) = \cos(xy) + x(-\sin(xy) \cdot y) = \cos(xy) - xy\sin(xy)$

よって、$z_{yx} = \cos(xy) - xy\sin(xy)$

6. $z_{yy}$ を求める:

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(x\cos(xy)) = x(-\sin(xy) \cdot x) = -x^2\sin(xy)$

よって、$z_{yy} = -x^2\sin(xy)$

最後に、それぞれの2次偏導関数を問題の形式に合わせて答えます。

* $z_{xx} = Ay^B\sin(xy)$ より、$A = -, B = 2$

* $z_{xy} = C\cos(xy) + D\sin(xy)$ より、$C = 1, D = -xy$

* $z_{yx} = E\cos(xy) + F\sin(xy)$ より、$E = 1, F = -xy$

* $z_{yy} = Gx^H\sin(xy)$ より、$G = -, H = 2$

## 最終的な答え

* $z_{xx}$ は $Ay^B\sin(xy)$ である。Aの符号: - , Bの値: 2

* $z_{xy}$ は $C\cos(xy) + D\sin(xy)$ である。Cの値: 1, Dの値: -xy

* $z_{yx}$ は $E\cos(xy) + F\sin(xy)$ である。Eの値: 1, Fの値: -xy

* $z_{yy}$ は $Gx^H\sin(xy)$ である。Gの符号: - , Hの値: 2