与えられた極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

ここで $x \to 0$ とすると、$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$ となります。

(2) 分母の有理化を行います。

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+1/x} + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1/x} + 1}$

ここで $x \to \infty$ とすると、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \frac{5x}{\sin 5x} \frac{6x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \lim_{x \to 0} \frac{6}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{(1-x)(1+x)}$

ここで $x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ となる。

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{1 - (1+h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{(1 - (1+2h+h^2))} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{-2h - h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{-h(2+h)}$

ここで $\log (1+h) = h - \frac{h^2}{2} + ...$ より

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)(h - \frac{h^2}{2} + ...)}{-h(2+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{h + O(h^2)}{-2h - h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + O(h)}{-2 - h} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$