$xy$平面において、曲線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = x$ で囲まれた領域の面積を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面において、曲線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = x$ で囲まれた領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求める。$y = x^2 - x$ と $y = x$ より、

$x^2 - x = x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

したがって、交点は $x = 0$ と $x = 2$ である。

$x=0$ のとき $y=0$、 $x=2$ のとき $y=2$ となるので、交点の座標は$(0, 0)$と$(2, 2)$である。

次に、積分範囲を定める。$x$ は $0$ から $2$ まで変化する。この範囲で、直線 $y = x$ が曲線 $y = x^2 - x$ の上にある。したがって、求める面積は、

$\int_{0}^{2} (x - (x^2 - x)) dx$

$=\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

$=[x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2$

$=(2^2 - \frac{1}{3}(2^3)) - (0^2 - \frac{1}{3}(0^3))$

$=4 - \frac{8}{3}$

$=\frac{12}{3} - \frac{8}{3}$

$=\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$