与えられた問題は、多変数関数の微積分に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) 関数 $f(x, y) = x^4 + xy + y^4$ に対して、ラプラシアン $\Delta f$ を計算する。ここで、$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ です。 (2) 関数 $f(x, y) = e^{2x - y}$ に対して、$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0, 0)$ の値を計算する。 (3) 関数 $f(x, y) = \cos(3x + y)$ の2次のマクローリン展開を求める。ただし、3次の剰余項は省略してよい。

1. 問題の内容

与えられた問題は、多変数関数の微積分に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) 関数 $f(x, y) = x^4 + xy + y^4$ に対して、ラプラシアン $\Delta f$ を計算する。ここで、$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ です。

(2) 関数 $f(x, y) = e^{2x - y}$ に対して、$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0, 0)$ の値を計算する。

(3) 関数 $f(x, y) = \cos(3x + y)$ の2次のマクローリン展開を求める。ただし、3次の剰余項は省略してよい。

2. 解き方の手順

(1) ラプラシアンの計算

まず、$f(x, y) = x^4 + xy + y^4$ の偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 + y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2$

ラプラシアン $\Delta f$ は以下のようになります。

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12x^2 + 12y^2$

(2) 微分演算子の計算

まず、$f(x, y) = e^{2x - y}$ の偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x - y}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{2x - y}$

次に、$2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}$ を $f(x, y)$ に作用させます。

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x, y) = 2(2e^{2x - y}) + 3(-e^{2x - y}) = 4e^{2x - y} - 3e^{2x - y} = e^{2x - y}$

もう一度、$2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}$ を作用させます。

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x, y) = \left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right) e^{2x - y} = 2(2e^{2x - y}) + 3(-e^{2x - y}) = 4e^{2x - y} - 3e^{2x - y} = e^{2x - y}$

最後に、$(0, 0)$ における値を計算します。

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0, 0) = e^{2(0) - 0} = e^0 = 1$

(3) マクローリン展開

$f(x, y) = \cos(3x + y)$ のマクローリン展開を求めます。2次までの展開なので、2次偏導関数まで計算します。

$f(0, 0) = \cos(0) = 1$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -3\sin(3x + y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin(3x + y)$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = -3\sin(0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = -\sin(0) = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -9\cos(3x + y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\cos(3x + y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3\cos(3x + y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = -9\cos(0) = -9$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = -\cos(0) = -1$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = -3\cos(0) = -3$

2次のマクローリン展開は以下のようになります。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0)y^2\right)$

$f(x, y) \approx 1 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-9x^2 - 6xy - y^2) = 1 - \frac{9}{2}x^2 - 3xy - \frac{1}{2}y^2$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta f = 12x^2 + 12y^2$

(2) $\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0, 0) = 1$

(3) $f(x, y) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 - 3xy - \frac{1}{2}y^2$