与えられた関数 $z$ について、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$z_{xx}$ は $z$ の $x$ に関する2階偏導関数、$z_{yy}$ は $z$ の $y$ に関する2階偏導関数を表します。問題は以下の3つの関数についてそれぞれ証明を行う必要があります。 (1) $z = \log(x^2 + y^2)$ (2) $z = e^x \cos y$ (3) $z = \arctan(x/y)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ について、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$z_{xx}$ は $z$ の $x$ に関する2階偏導関数、$z_{yy}$ は $z$ の $y$ に関する2階偏導関数を表します。問題は以下の3つの関数についてそれぞれ証明を行う必要があります。

(1) $z = \log(x^2 + y^2)$

(2) $z = e^x \cos y$

(3) $z = \arctan(x/y)$

2. 解き方の手順

(1) $z = \log(x^2 + y^2)$ の場合

まず、$z_x$ と $z_y$ を求めます。

$z_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

次に、$z_{xx}$ と $z_{yy}$ を求めます。

$z_{xx} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$z_{yy} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$ となり、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立ちます。

(2) $z = e^x \cos y$ の場合

まず、$z_x$ と $z_y$ を求めます。

$z_x = e^x \cos y$

$z_y = -e^x \sin y$

次に、$z_{xx}$ と $z_{yy}$ を求めます。

$z_{xx} = e^x \cos y$

$z_{yy} = -e^x \cos y$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = e^x \cos y - e^x \cos y = 0$ となり、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立ちます。

(3) $z = \arctan(x/y)$ の場合

まず、$z_x$ と $z_y$ を求めます。

$z_x = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$z_y = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{-x}{y^2} = \frac{-x}{x^2 + y^2}$

次に、$z_{xx}$ と $z_{yy}$ を求めます。

$z_{xx} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$z_{yy} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = 0$ となり、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。

(2) $z = e^x \cos y$ のとき、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。

(3) $z = \arctan(x/y)$ のとき、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。