$z = \sin(xy)$ の2次偏導関数 $z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yx}$, $z_{yy}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$z = \sin(xy)$ の2次偏導関数 $z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yx}$, $z_{yy}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z$ の $x$ に関する偏微分 $z_x$ および $y$ に関する偏微分 $z_y$ を求めます。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y = y \cos(xy)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x = x \cos(xy)$

次に、$z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yx}$, $z_{yy}$ を求めます。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (y \cos(xy)) = y (-\sin(xy) \cdot y) = -y^2 \sin(xy)$

したがって、Aは - であり、Bは2です。

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (y \cos(xy)) = \cos(xy) + y(-\sin(xy) \cdot x) = \cos(xy) - xy \sin(xy)$

したがって、Cは1であり、Dは $-xy$ です。

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x \cos(xy)) = \cos(xy) + x(-\sin(xy) \cdot y) = \cos(xy) - xy \sin(xy)$

したがって、Eは1であり、Fは $-xy$ です。

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x \cos(xy)) = x(-\sin(xy) \cdot x) = -x^2 \sin(xy)$

したがって、Gは - であり、Hは2です。

3. 最終的な答え

* $z_{xx} = - y^2 \sin(xy)$

* A: 2

* B: 2

* $z_{xy} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$

* C: 1

* D: -xy

* $z_{yx} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$

* E: 1

* F: -xy

* $z_{yy} = - x^2 \sin(xy)$

* G: 2

* H: 2