2つの条件 $[1] \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$ $[2] \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = k$ を満たす2次関数$f(x)$と定数$k$の値を求める。

1. 問題の内容

2つの条件

$[1] \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$

$[2] \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = k$

を満たす2次関数$f(x)$と定数$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、条件[1]から、$f(x)$は$x$を因数に持つことがわかる。なぜなら、$x \to 0$のとき$\frac{f(x)}{x}$が有限の値に収束するためには、$f(0) = 0$でなければならないからである。

したがって、$f(x)$は$f(x) = ax^2 + bx$と表せる。

条件[1]より、

$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx}{x} = \lim_{x \to 0} (ax + b) = b = 3$

よって、$f(x) = ax^2 + 3x$となる。

次に、条件[2]から、$x \to 2$のとき$\frac{f(x)}{x-2}$が有限の値$k$に収束するためには、$f(2) = 0$でなければならない。

$f(2) = a(2)^2 + 3(2) = 4a + 6 = 0$

$4a = -6$

$a = -\frac{3}{2}$

よって、$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 3x$となる。

条件[2]より、

$\lim_{x \to 2} \frac{-\frac{3}{2}x^2 + 3x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{-\frac{3}{2}x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} -\frac{3}{2}x = -\frac{3}{2}(2) = -3$

したがって、$k = -3$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 3x$

$k = -3$