次の2曲線で囲まれた図形の面積を求めます。 (1) $y = x$, $y = \frac{x^2}{2} - 2x$ (2) $y = -x^2 + 2x$, $y = x^2 - 4$

1. 問題の内容

次の2曲線で囲まれた図形の面積を求めます。

(1) $y = x$, $y = \frac{x^2}{2} - 2x$

(2) $y = -x^2 + 2x$, $y = x^2 - 4$

2. 解き方の手順

(1)

2つの曲線 $y = x$ と $y = \frac{x^2}{2} - 2x$ の交点を求めます。

$x = \frac{x^2}{2} - 2x$ を解きます。

$\frac{x^2}{2} - 3x = 0$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

$x = 0, 6$

したがって、交点は $(0, 0)$ と $(6, 6)$ です。

区間 $[0, 6]$ において、$x \ge \frac{x^2}{2} - 2x$ です。

囲まれた面積は次の積分で計算できます。

$\int_0^6 (x - (\frac{x^2}{2} - 2x)) dx = \int_0^6 (3x - \frac{x^2}{2}) dx$

$= [\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3]_0^6 = \frac{3}{2}(6^2) - \frac{1}{6}(6^3) = \frac{3}{2}(36) - \frac{1}{6}(216) = 54 - 36 = 18$

(2)

2つの曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $y = x^2 - 4$ の交点を求めます。

$-x^2 + 2x = x^2 - 4$ を解きます。

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

したがって、交点は $(2, 0)$ と $(-1, -3)$ です。

区間 $[-1, 2]$ において、$-x^2 + 2x \ge x^2 - 4$ です。

囲まれた面積は次の積分で計算できます。

$\int_{-1}^2 ((-x^2 + 2x) - (x^2 - 4)) dx = \int_{-1}^2 (-2x^2 + 2x + 4) dx$

$= [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]_{-1}^2 = (-\frac{2}{3}(2^3) + 2^2 + 4(2)) - (-\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1))$

$= (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3)$

$= -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 = 15 - \frac{18}{3} = 15 - 6 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 18

(2) 9