与えられた条件 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2$ と $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$ を満たす3次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2$ と $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$

を満たす3次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

* $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2$ が存在するため、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ である必要がある。したがって、$f(0) = 0$ である。

* 同様に、$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$ が存在するため、$\lim_{x \to 1} f(x) = 0$ である必要がある。したがって、$f(1) = 0$ である。

* $f(0) = 0$ と $f(1) = 0$ より、$f(x)$ は $x$ と $x-1$ を因数に持つ。

* $f(x)$ は3次関数なので、$f(x) = x(x-1)(ax+b)$ (ただし、$a \neq 0$) とおける。

* $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)(ax+b)}{x} = \lim_{x \to 0} (x-1)(ax+b) = (-1)b = -b$

したがって、$-b = 2$ となる。

* $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x-1)(ax+b)}{x-1} = \lim_{x \to 1} x(ax+b) = 1(a+b) = a+b$

したがって、$a+b = 3$ となる。

* $-b = 2$ より、$b = -2$ である。

* $a+b = 3$ に $b = -2$ を代入すると、$a - 2 = 3$ より、$a = 5$ となる。

* よって、$f(x) = x(x-1)(5x-2) = x(5x^2 - 2x - 5x + 2) = x(5x^2 - 7x + 2) = 5x^3 - 7x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

$f(x) = 5x^3 - 7x^2 + 2x$