2つの条件 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$ $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = k$ を満たす2次関数 $f(x)$ と定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの条件

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = k$

を満たす2次関数 $f(x)$ と定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を2次関数として $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

条件1: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + c}{x} = 3$

$x \to 0$ のとき分母が0に近づくため、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$f(0) = c = 0$ です。

よって、$f(x) = ax^2 + bx$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx}{x} = \lim_{x \to 0} (ax + b) = b = 3$

したがって、$f(x) = ax^2 + 3x$ となります。

条件2: $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = k$ より、

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + 3x}{x-2} = k$

$x \to 2$ のとき分母が0に近づくため、極限が存在するためには分子も0に近づく必要があります。したがって、$f(2) = 4a + 6 = 0$ です。

$4a = -6$

$a = -\frac{3}{2}$

よって、$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 3x$ となります。

$\lim_{x \to 2} \frac{-\frac{3}{2}x^2 + 3x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{-\frac{3}{2}x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} -\frac{3}{2}x = -\frac{3}{2}(2) = -3$

したがって、$k = -3$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 3x$

$k = -3$