定積分 $\int_0^1 \frac{r^2}{1+r^2} dr$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \frac{r^2}{1+r^2} dr$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず被積分関数を変形します。

$\frac{r^2}{1+r^2}$ を $\frac{1+r^2-1}{1+r^2}$ と変形します。

すると、

$\frac{r^2}{1+r^2} = \frac{1+r^2}{1+r^2} - \frac{1}{1+r^2} = 1 - \frac{1}{1+r^2}$

となります。

したがって、

$\int_0^1 \frac{r^2}{1+r^2} dr = \int_0^1 (1 - \frac{1}{1+r^2}) dr = \int_0^1 1 dr - \int_0^1 \frac{1}{1+r^2} dr$

となります。

$\int_0^1 1 dr = [r]_0^1 = 1 - 0 = 1$

$\int_0^1 \frac{1}{1+r^2} dr = [\arctan(r)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

よって、

$\int_0^1 \frac{r^2}{1+r^2} dr = 1 - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{\pi}{4}$