以下の3つの積分問題を解きます。 (1) $\int (2x^5 - 3\sqrt{x}) dx$ (2) $\int (x - \frac{1}{x})^2 dx$ (3) $\int (\frac{1}{5}x + 3)^{2025} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの積分問題を解きます。

(1) $\int (2x^5 - 3\sqrt{x}) dx$

(2) $\int (x - \frac{1}{x})^2 dx$

(3) $\int (\frac{1}{5}x + 3)^{2025} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x^5 - 3\sqrt{x}) dx$

まず、積分を分割します。

$\int 2x^5 dx - \int 3\sqrt{x} dx$

定数を積分の外に出します。

$2\int x^5 dx - 3\int x^{1/2} dx$

べき乗の積分を行います。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$2 \cdot \frac{x^6}{6} - 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

整理します。

$\frac{x^6}{3} - 2x^{3/2} + C$

(2) $\int (x - \frac{1}{x})^2 dx$

まず、$(x - \frac{1}{x})^2$ を展開します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + x^{-2}$

積分を行います。

$\int (x^2 - 2 + x^{-2}) dx = \int x^2 dx - \int 2 dx + \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^3}{3} - 2x + \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$

(3) $\int (\frac{1}{5}x + 3)^{2025} dx$

$u = \frac{1}{5}x + 3$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{5}$

$dx = 5du$

積分を置換します。

$\int u^{2025} \cdot 5 du = 5 \int u^{2025} du$

$= 5 \cdot \frac{u^{2026}}{2026} + C$

$u$ を元に戻します。

$= 5 \cdot \frac{(\frac{1}{5}x + 3)^{2026}}{2026} + C$

$= \frac{5(\frac{1}{5}x + 3)^{2026}}{2026} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{3} - 2x^{3/2} + C$

(2) $\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$

(3) $\frac{5(\frac{1}{5}x + 3)^{2026}}{2026} + C$