与えられた2つの関数について、グラフを描き、定義域、値域、および漸近線を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$ (2) $y = -\frac{2}{x+3}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、グラフを描き、定義域、値域、および漸近線を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$ について

* 定義域: 分母が0にならないように、$x-1 \neq 0$ であるから、$x \neq 1$。したがって、定義域は $x < 1$ または $x > 1$。

* 漸近線: $x=1$ のとき、関数は定義されないので、垂直漸近線は $x = 1$。$x$ が大きくなるにつれて、$\frac{1}{x-1}$ は 0 に近づくので、水平漸近線は $y = 2$。

* 値域: $y=2$ となる $x$ は存在しないので、$y \neq 2$。したがって、値域は $y < 2$ または $y > 2$。

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$ について

* 定義域: 分母が0にならないように、$x+3 \neq 0$ であるから、$x \neq -3$。したがって、定義域は $x < -3$ または $x > -3$。

* 漸近線: $x=-3$ のとき、関数は定義されないので、垂直漸近線は $x = -3$。$x$ が大きくなるにつれて、$-\frac{2}{x+3}$ は 0 に近づくので、水平漸近線は $y = 0$。

* 値域: $y=0$ となる $x$ は存在しないので、$y \neq 0$。したがって、値域は $y < 0$ または $y > 0$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$

* 定義域: $x \neq 1$

* 値域: $y \neq 2$

* 漸近線: $x=1$, $y=2$

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$

* 定義域: $x \neq -3$

* 値域: $y \neq 0$

* 漸近線: $x=-3$, $y=0$