与えられた積分問題を解きます。具体的には以下の5つの積分を計算します。 [1] $\int \frac{\sin(\pi \log_2 x)}{x} dx$ [2] $\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x}$ [3] $\int \sqrt{1-3x} dx$ [4] $\int (2x+1)\sqrt{x+2} dx$ [5] $\int (\sqrt{x} + x)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。具体的には以下の5つの積分を計算します。

[1] $\int \frac{\sin(\pi \log_2 x)}{x} dx$

[2] $\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x}$

[3] $\int \sqrt{1-3x} dx$

[4] $\int (2x+1)\sqrt{x+2} dx$

[5] $\int (\sqrt{x} + x)^2 dx$

2. 解き方の手順

[1]

$u = \pi \log_2 x$ と置換します。すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{\pi}{x \ln 2}$

$dx = \frac{x \ln 2}{\pi} du$

したがって、

$\int \frac{\sin(\pi \log_2 x)}{x} dx = \int \frac{\sin u}{x} \frac{x \ln 2}{\pi} du = \frac{\ln 2}{\pi} \int \sin u du = \frac{\ln 2}{\pi} (-\cos u) + C = -\frac{\ln 2}{\pi} \cos(\pi \log_2 x) + C$

[2]

$\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x} = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin x} dx$

$t = \cos x$ とすると $dt = -\sin x dx$。 よって、

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$

したがって、

$\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x} = \sec x - \ln |\csc x + \cot x| + C$

[3]

$u = 1-3x$ と置換します。すると $du = -3dx$。 よって $dx = -\frac{1}{3}du$。

$\int \sqrt{1-3x} dx = \int \sqrt{u} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{2}{9} (1-3x)^{\frac{3}{2}} + C$

[4]

$u = x+2$ と置換します。 すると $x = u-2$, $dx = du$

$\int (2x+1)\sqrt{x+2} dx = \int (2(u-2)+1)\sqrt{u} du = \int (2u-3)\sqrt{u} du = \int (2u^{\frac{3}{2}}-3u^{\frac{1}{2}}) du = 2\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}} - 2(x+2)^{\frac{3}{2}} + C$

[5]

$\int (\sqrt{x} + x)^2 dx = \int (x + 2x^{\frac{3}{2}} + x^2) dx = \frac{x^2}{2} + 2\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} + C$

3. 最終的な答え

[1] $-\frac{\ln 2}{\pi} \cos(\pi \log_2 x) + C$

[2] $\sec x - \ln |\csc x + \cot x| + C$

[3] $-\frac{2}{9} (1-3x)^{\frac{3}{2}} + C$

[4] $\frac{4}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}} - 2(x+2)^{\frac{3}{2}} + C$

[5] $\frac{x^2}{2} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} + C$