$\int \log(x^2 + 1) dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \log(x^2 + 1) dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$\log(x^2+1)$ を $u$、$dx$ を $dv$ とします。

すると、$du = \frac{2x}{x^2+1}dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式：$\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x\log(x^2 + 1) - \int x \frac{2x}{x^2+1} dx$

$= x\log(x^2 + 1) - 2 \int \frac{x^2}{x^2+1} dx$

ここで、$\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$ なので、

$\int \frac{x^2}{x^2+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x^2+1}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2+1} dx = x - \arctan(x) + C$

よって、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x\log(x^2 + 1) - 2(x - \arctan(x)) + C$

$= x\log(x^2 + 1) - 2x + 2\arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$x\log(x^2 + 1) - 2x + 2\arctan(x) + C$