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$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ を計算する問題です。

解析学積分置換積分三角関数sec x
2025/7/2

1. 問題の内容

∫sin⁡xcos⁡2xdx\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を利用します。
u=cos⁡xu = \cos x と置くと、du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx となります。したがって、sin⁡xdx=−du\sin x dx = -du です。
与えられた積分を uu で書き換えると、
∫sin⁡xcos⁡2xdx=∫−duu2=−∫u−2du\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2} du
となります。
u−2u^{-2} の積分は u−1−1=−u−1\frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1} であるので、
−∫u−2du=−(−u−1)+C=u−1+C=1u+C-\int u^{-2} du = -(-u^{-1}) + C = u^{-1} + C = \frac{1}{u} + C
となります。
ここで、u=cos⁡xu = \cos x なので、uu を cos⁡x\cos x に戻すと、
1u+C=1cos⁡x+C=sec⁡x+C\frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C
となります。

3. 最終的な答え

sec⁡x+C\sec x + C

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