与えられた積分 $\int xe^{-x} dx$ を計算します。

解析学積分部分積分指数関数
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた積分 xexdx\int xe^{-x} dx を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は次のとおりです。
udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
ここで、u=xu=x および dv=exdxdv = e^{-x} dx とします。
すると、du=dxdu = dx および v=exdx=exv = \int e^{-x} dx = -e^{-x} となります。
したがって、
xexdx=x(ex)(ex)dx\int xe^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx
=xex+exdx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx
=xexex+C = -xe^{-x} - e^{-x} + C
=ex(x+1)+C = -e^{-x}(x+1) + C

3. 最終的な答え

xexdx=ex(x+1)+C\int xe^{-x} dx = -e^{-x}(x+1) + C

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