与えられた積分 $\int xe^{-x} dx$ を計算します。解析学積分部分積分指数関数2025/7/11. 問題の内容与えられた積分 ∫xe−xdx\int xe^{-x} dx∫xe−xdx を計算します。2. 解き方の手順この積分は部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は次のとおりです。∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du∫udv=uv−∫vduここで、u=xu=xu=x および dv=e−xdxdv = e^{-x} dxdv=e−xdx とします。すると、du=dxdu = dxdu=dx および v=∫e−xdx=−e−xv = \int e^{-x} dx = -e^{-x}v=∫e−xdx=−e−x となります。したがって、∫xe−xdx=x(−e−x)−∫(−e−x)dx\int xe^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx∫xe−xdx=x(−e−x)−∫(−e−x)dx=−xe−x+∫e−xdx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C = -xe^{-x} - e^{-x} + C=−xe−x−e−x+C=−e−x(x+1)+C = -e^{-x}(x+1) + C=−e−x(x+1)+C3. 最終的な答え∫xe−xdx=−e−x(x+1)+C\int xe^{-x} dx = -e^{-x}(x+1) + C∫xe−xdx=−e−x(x+1)+C