定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を分解します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx$ について:

$\sin 2x$ の原始関数は $-\frac{1}{2} \cos 2x$ です。したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cos(0)\right) = -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cos 0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$ について:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

ここで、 $u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ となり、

$\int \tan x dx = \int \frac{-1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = [-\ln |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln \left|\cos \frac{\pi}{4}\right| - (-\ln |\cos 0|) = -\ln \frac{1}{\sqrt{2}} + \ln 1 = -\ln 2^{-\frac{1}{2}} + 0 = \frac{1}{2} \ln 2$

したがって、求める積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$