定積分 $\int_{0}^{1} (e^x - ex)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (e^x - ex)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(e^x - ex)^2 = (e^x)^2 - 2(e^x)(ex) + (ex)^2 = e^{2x} - 2e^{x+1}x + e^2x^2$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$\int x e^{x+1} dx = e \int x e^x dx$

部分積分を用いて、$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$

よって、$\int x e^{x+1} dx = e (x e^x - e^x) + C = xe^{x+1} - e^{x+1} + C$

$\int x^2 e^2 dx = e^2 \int x^2 dx = e^2 \frac{x^3}{3} + C$

したがって、

$\int (e^{2x} - 2e^{x+1}x + e^2x^2) dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 2(xe^{x+1} - e^{x+1}) + e^2 \frac{x^3}{3} + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} - 2e^{x+1}x + e^2x^2) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - 2xe^{x+1} + 2e^{x+1} + \frac{e^2x^3}{3} \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1}{2}e^2 - 2e^2 + 2e^2 + \frac{e^2}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 0 + 2e + 0 \right)$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^2 - \frac{1}{2} - 2e$

$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})e^2 - 2e - \frac{1}{2}$

$= \frac{5}{6}e^2 - 2e - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}e^2 - 2e - \frac{1}{2}$