与えられた定積分 $\int_{1}^{x} \frac{1}{1-e^{-kt}} dt$ を計算します。ただし、$x > 1$、$k > 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{1}^{x} \frac{1}{1-e^{-kt}} dt$ を計算します。ただし、$x > 1$、$k > 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、被積分関数を変形します。

$\frac{1}{1-e^{-kt}} = \frac{e^{kt}}{e^{kt}-1}$

積分を以下のように書き換えます。

$\int_{1}^{x} \frac{e^{kt}}{e^{kt}-1} dt$

$u = e^{kt} - 1$ と置換すると、$du = k e^{kt} dt$ となります。したがって、$e^{kt} dt = \frac{1}{k} du$。

積分範囲も変更します。$t=1$ のとき、$u = e^k - 1$、$t=x$ のとき、$u = e^{kx} - 1$。

置換積分を実行します。

$\int_{e^k-1}^{e^{kx}-1} \frac{1}{u} \frac{1}{k} du = \frac{1}{k} \int_{e^k-1}^{e^{kx}-1} \frac{1}{u} du = \frac{1}{k} [\ln |u|]_{e^k-1}^{e^{kx}-1}$

$\frac{1}{k} [\ln |u|]_{e^k-1}^{e^{kx}-1} = \frac{1}{k} (\ln(e^{kx}-1) - \ln(e^k-1)) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{e^{kx}-1}{e^k-1} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{k} \ln \left( \frac{e^{kx}-1}{e^k-1} \right)$