$\int_{1/e}^{1} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1/e}^{1} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。

$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$$

したがって、

$$\int_{1/e}^1 x^2 \log x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} \right]_{1/e}^1$$

$$= \left( \frac{1^3}{3} \log 1 - \frac{1^3}{9} \right) - \left( \frac{(1/e)^3}{3} \log (1/e) - \frac{(1/e)^3}{9} \right)$$

$$= \left( 0 - \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{3e^3} (-\log e) - \frac{1}{9e^3} \right)$$

$$= -\frac{1}{9} - \left( -\frac{1}{3e^3} - \frac{1}{9e^3} \right) = -\frac{1}{9} + \frac{1}{3e^3} + \frac{1}{9e^3}$$

$$= -\frac{1}{9} + \frac{3}{9e^3} + \frac{1}{9e^3} = -\frac{1}{9} + \frac{4}{9e^3} = \frac{4}{9e^3} - \frac{1}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9e^3} - \frac{1}{9}$