定積分 $\int_0^1 \sqrt{2-y^2} dy$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \sqrt{2-y^2} dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{2} \sin \theta$ と置換します。

すると、$dy = \sqrt{2} \cos \theta d\theta$ となります。

積分範囲は、

$y=0$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$y=1$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 1$ より $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、

\begin{align*}

\int_0^1 \sqrt{2-y^2} dy &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - 2\sin^2 \theta} \cdot \sqrt{2} \cos \theta d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2(1-\sin^2 \theta)} \cdot \sqrt{2} \cos \theta d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2\cos^2 \theta} \cdot \sqrt{2} \cos \theta d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \cos \theta \cdot \sqrt{2} \cos \theta d\theta \\

&= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta d\theta \\

&= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta \\

&= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta \\

&= \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\

&= \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin(0) \right) \\

&= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} (1) - 0 \\

&= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$