以下の４つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^1 (2x+1)^3 dx$ (2) $\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{3x-2}} dx$ (3) $\int_0^1 \frac{1}{4x+1} dx$ (4) $\int_0^\pi \sin(\frac{x}{3} + \pi) dx$

はい、承知いたしました。黒板に書かれた４つの定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の４つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^1 (2x+1)^3 dx$

(2) $\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{3x-2}} dx$

(3) $\int_0^1 \frac{1}{4x+1} dx$

(4) $\int_0^\pi \sin(\frac{x}{3} + \pi) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 (2x+1)^3 dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

また、$x=0$ のとき $u = 1$、$x=1$ のとき $u = 3$ となります。

したがって、

$\int_0^1 (2x+1)^3 dx = \int_1^3 u^3 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int_1^3 u^3 du = \frac{1}{2} [\frac{1}{4}u^4]_1^3 = \frac{1}{8}[u^4]_1^3 = \frac{1}{8}(3^4 - 1^4) = \frac{1}{8}(81 - 1) = \frac{80}{8} = 10$

(2) $\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{3x-2}} dx$

$u = 3x-2$ と置換すると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

また、$x=1$ のとき $u = 1$、$x=9$ のとき $u = 25$ となります。

したがって、

$\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{3x-2}} dx = \int_1^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int_1^{25} u^{-1/2} du = \frac{1}{3} [2u^{1/2}]_1^{25} = \frac{2}{3}[\sqrt{u}]_1^{25} = \frac{2}{3}(\sqrt{25} - \sqrt{1}) = \frac{2}{3}(5 - 1) = \frac{2}{3}(4) = \frac{8}{3}$

(3) $\int_0^1 \frac{1}{4x+1} dx$

$u = 4x+1$ と置換すると、$du = 4dx$ より $dx = \frac{1}{4}du$ となります。

また、$x=0$ のとき $u = 1$、$x=1$ のとき $u = 5$ となります。

したがって、

$\int_0^1 \frac{1}{4x+1} dx = \int_1^5 \frac{1}{u} \frac{1}{4}du = \frac{1}{4} \int_1^5 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4}[\ln|u|]_1^5 = \frac{1}{4}(\ln 5 - \ln 1) = \frac{1}{4}(\ln 5 - 0) = \frac{1}{4}\ln 5$

(4) $\int_0^\pi \sin(\frac{x}{3} + \pi) dx$

$u = \frac{x}{3} + \pi$ と置換すると、$du = \frac{1}{3}dx$ より $dx = 3du$ となります。

また、$x=0$ のとき $u = \pi$、$x=\pi$ のとき $u = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ となります。

したがって、

$\int_0^\pi \sin(\frac{x}{3} + \pi) dx = \int_\pi^{\frac{4\pi}{3}} \sin u \cdot 3 du = 3 \int_\pi^{\frac{4\pi}{3}} \sin u du = 3[-\cos u]_\pi^{\frac{4\pi}{3}} = 3(-\cos(\frac{4\pi}{3}) + \cos \pi) = 3(-(-\frac{1}{2}) + (-1)) = 3(\frac{1}{2} - 1) = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) $\frac{8}{3}$

(3) $\frac{1}{4}\ln 5$

(4) $-\frac{3}{2}$